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162 OEDVRES DE CHARLES HERM1TE.
menie reduclible a des irrationnelles algebriques ('}, etje rap-
pellerai aussi qae I'illustre ge'ometre a demontrele premier la pro- position qui estle sujet de ces recherches pour les cas de liqua- tion du second degre et de 1'equation bicarree [Note sur I'irra- tionnalite du nombre e (Journal de Mathernatiqii.es, t. "V, p. 192)]. Sous le point de vue auquel je me suis place, voici lu premiere proposition a dtablir :
VII. Solent F(s), F .,(;;), ..., F/H.((s) les poly no mes deduiis
de I 'expression |
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lorsqu'on attribue aux exposants [j., \t.\, . . . , jJ-/o n ~H 2 systemes
different^ de valeurs entieres et positives. En represenlant, en
*5** (31)
general, par
tielles} qui correspondent a V an quelconque d'entre eax F/,-( 3),
on pour ret, toujours determiner les quantites A, B, G, ... ,, L par les equations suivantes :
A* (x) -+- B<f>i (as) -+- G*2 (a?)-h. . .-I- L'F'-'-'O) = o,
A*! (a?) H- B'I>.} (a;) -t- C <!>?(» -4-. . .-+• L*'/+1 (or} = o,
A*«(a?) 4- B*i(5F) -t- G*,\(a?) -H. . .+ L*;i+1 (sr) ~ o.
Mais, au lieu de conclure de telles relations des polynomes
^(a?) supposes connus, notre objet est de les obtenir directemeiil et a priori; je vais etablir pour cela. qu'il existe, enlrc les inle- g'rales inclefinies
J'er-^F^dz, Jer-**Yi(z)d9, ,.., fa-:* Fn+Mds,
tine equation de la forme
& fe-3*f(s) dx + ilk fff-sx^xydx •+-...
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(l) Comptes rendus, t. XVIII, p. 883 et 910.
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